practicas_setembro

Informática. Exame de Prácticas.
Setembro, 2006

Nome:

A derivada f'(x) dunha función real f (x) de variábel real no intervalo [a, b] defínese como:

f'(x) = $\displaystyle \lim_{{h \rightarrow 0}}^{}$ $\displaystyle {\frac{{f(x + h) - f(x)}}{{h}}}$ x $\displaystyle \in$ [a, b]

(1)

Asemade, a integral definida de f (x) no citado intervalo se pode calcular, usando a regra dos trapecios, usando a expresión:

$\displaystyle \int_{{a}}^{{b}}$ f (x)dx = $\displaystyle \lim_{{n \rightarrow \infty}}^{}$ $\displaystyle {\frac{{b - a}}{{n}}}$ $\displaystyle \sum_{{i = 0}}^{n}$ f $\displaystyle \left[\vphantom{ a + \frac {i(b - a)}{n} }\right.$ a + $\displaystyle {\frac{{i(b - a)}}{{n}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ a + \frac {i(b - a)}{n} }\right]$

(2)

Onde n é o número de puntos da partición do intervalo [a, b]. A derivada f'(x) pódese aproximar numéricamente no intervalo [a, b] usando a expresión:

f'(x) $\displaystyle \simeq$ $\displaystyle {\frac{{f(x + h) - f(x)}}{{h}}}$ x $\displaystyle \in$ [a, b]

(3)

Onde h é o paso (con valor h $\ll$ b - a). Pola outra banda, a integral definida $\int_{{a}}^{{b}}$ f (x)dx pódese aproximar mediante a expresión:

$\displaystyle \int_{{a}}^{{b}}$ f (x)dx $\displaystyle \simeq$ $\displaystyle {\frac{{b - a}}{{n}}}$ $\displaystyle \sum_{{i = 0}}^{n}$ f $\displaystyle \left[\vphantom{ a + \frac {i(b - a)}{n} }\right.$ a + $\displaystyle {\frac{{i(b - a)}}{{n}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ a + \frac {i(b - a)}{n} }\right]$

(4)

Onde n debe ter un valor elevado que simule que n $\rightarrow$ $\infty$ .

Debes escribir un programa en Fortran conteña o seguinte:

(4 PUNTOS) Un un subprograma derivada(...) (debes decidi-lo tipo de subprograma), que reciba como argumentos dous valores reais a, b (extremos do intervalo no cal se calcula a derivada). A saída do subprograma deben ser tres vectores: un vector cos valores de x no intervalo [a, b] ( x = a, a + h, a + 2h, a + 3h,..., b), outro cos valores da función:

f (x) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{1 + x^2}}}$ (5)

nos valores de x e outro vector cos valores da súa derivada f'(x), aproximada usando a expresión 3.
(3 PUNTOS) Outro subprograma integral_definida(...) (debes decidi-lo tipo de subprograma), que reciba como argumentos dous valores reais a, b (extremos do intervalo de integración). A saída do subprograma debe se-la integral definida da expresión 5 en [a, b], aproximada usando a expresión 4.
(3 PUNTOS) Un programa principal que chame aos dous subprogramas anteriores, pasándolles como argumentos os extremos do intervalo [- 10, 10], para que calculen respectivamente a derivada e integral definida nese intervalo. Debes escribir tamén un subprograma chamado almacena(...) (debes decidi-los seus argumentos e tipo de subprograma), para que almacene os valores de x, f (x) e f'(x) no intervalo x $\in$ [- 10, 10] no arquivo datos.dat. Ao final do arquivo, este subprograma debe escribir o valor da integral $\int_{{-10}}^{{10}}$ f (x)dx.