practica_solucion

Informática. Exame resolto de prácticas. Setembro 2002

A Serie de Fourier dunha función periódica f (x) par (isto é, f (- x) = f (x)) de período P está determinada pola seguinte expresión:

f (x) = $\displaystyle {\frac{{a_0}}{{2}}}$ + $\displaystyle \sum_{{k = 1}}^{\infty}$ a_kcos $\displaystyle \Big($ $\displaystyle {\frac{{2 \pi kx}}{{P}}}$ $\displaystyle \Big)$

(1)

Onde:

a₀ = $\displaystyle {\frac{{2}}{{P}}}$ $\displaystyle \int_{{0}}^{P}$ f (t)dt, a_k = $\displaystyle {\frac{{2}}{{P}}}$ $\displaystyle \int_{{0}}^{P}$ f (t)cos $\displaystyle \Big($ $\displaystyle {\frac{{2 \pi kt}}{{P}}}$ $\displaystyle \Big)$ dt, k = 1,..., $\displaystyle \infty$

(2)

As integrais pódense aproximar empregando a Regra de Simpson:

$\displaystyle \int_{a}^{b}$ g(t)dt = $\displaystyle {\frac{{b - a}}{{3n}}}$ $\displaystyle \Bigg[$ g(a) + g(b) + 4 $\displaystyle \sum_{{i = 2}}^{{n,2}}$ g(t_i-1) + 2 $\displaystyle \sum_{{i = 2}}^{{n - 2,2}}$ g(t_i) $\displaystyle \Bigg]$

(3)

t_i = a + $\displaystyle {\frac{{i(b - a)}}{{n}}}$ , i = 1, 2,..., n - 1, n

(4)

Onde os t_i son os n puntos na partición do intervalo [a, b] e $\sum_{{i = 2}}^{{n,2}}$ designa á suma dende i = 2 ata n con incrementos de 2:

$\displaystyle \sum_{{i = 2}}^{{n,2}}$ g(t_i-1) = g(t₁) + g(t₃) +...+ g(t_n-3) + g(t_n-1)

(5)

Escribir un programa en Fortran que calcule os valores a_k, k = 0,..., K para f (t) = cos(t), P = 2 $\pi$ . Para esto:

Escribir un subprograma que calcule a integral definida de cos(t) entre dous valores empregando a regra de Simpson . Os argumentos do subprograma deben ser os límites de integración a, b e o número n de puntos no intervalo [a, b] (empregar n = 100).
Escribir outro subprograma para calcular a integral definida de cos(t)cos(2 $\pi$ kt/P) entre dous valores empregando a regra de Simpson . Os argumentos deberán ser os mesmos que no apartado anterior, ademais do índice k.
Calcular e presentar os coeficientes a_k, k = 0,..., K (empregar K = 10).

Para f (t) = cos(t) e P = 2 $\pi$ , o resultado debe ser a₁ = 1 e a_k = 0, k $\ne$ 1.

SOLUCIÓN:

      program serie_fourier
      parameter (PI = 3.141592)
      real integral1, integral2

      p = 2*PI; n = 100

      a = 2*integral1(0., p, n)/p
      print 3, "a0 = ", a
 3    format(a5, f8.5)

      do 1 k = 1, 10
         a = 2*integral2(0., p, k, n)/p
 1       print 2, "a", k, " = ", a
 2    format(a1, i2, a3, f8.5)

      stop
      end


cccccccccccccccccccccccccccc
      real function integral1(a, b, n)
      f(t) = cos(t)
      h = (b - a)/n

      integral1 = f(a) + f(b)
      do 1 i = 2, n, 2
 1       integral1 = integral1 + 4*f(a + (i - 1)*h)

      do 2 i = 2, n - 2, 2
 2       integral1 = integral1 + 2*f(a + i*h)

      integral1 = h*integral1/3

      return
      end

cccccccccccccccccccccccccccc
      real function integral2(a, b, k, n)
      f(t) = cos(t)*cos(k*t)
      h = (b - a)/n

      integral2 = f(a) + f(b)
      do 1 i = 2, n, 2
 1       integral2 = integral2 + 4*f(a + (i - 1)*h)

      do 2 i = 2, n - 2, 2
 2       integral2 = integral2 + 2*f(a + i*h)

      integral2 = h*integral2/3

      return
      end